[ Pobierz całość w formacie PDF ]
KOSMOLOGICZNE ROZWIĄZANIA RÓWNAŃ EINSTEINA.
W rozdziale podstawy OTW stwierdzono, że einsteinowskie równania pola to w ogólnosci dość skomplikowany układ 10 równań różniczkowych, w których niewiadomymi są składowe gij tensora metrycznego. Układ ten udało się analitycznie rozwiązać dla kilku prostych sytuacji, w tym dla przypadku przestrzeni jednorodnie wypełnionej materią o stałej gęstości r . Przypadek ten odpowiada właśnie kosmologii czyli opisowi własności i ewolucji Wszechświata jako całości.
Prawa strona równań Einsteina opisująca rozkład masy (energii) w przestrzeni - tzw. tensor energii-pędu Tij - brana jest z mechaniki ośrodków ciągłych i ma w tym przypadku następującą postać:
(1)
gdzie r to średnia gęstość materii we Wszechświecie zaś p to jej ciśnienie (obecnie praktycznie zaniedbywalne).
Dla określenia lewej strony równań Einsteina startuje się z interwału czasoprzestrzennego w postaci:
(2)
(patrz uzasadnienie w rozdziale o interwałach w przestrzeni o różnej krzywiźnie).
Przypominamy, że R to tzw. czynnik skalujący odległości przestrzenne zaś k charakteryzuje typ krzywizny przestrzeni: k = 0 odpowiada przestrzeni euklidesowej, k = +1 przestrzeni o geometrii typu sferycznego zaś k = -1 geometrii typu hiperbolicznego.
Z formuły (2) mamy więc składowe gij w postaci: g00 = 1, ,
g22 = - R2r2, g33 = -R2r2sin2q. Podstawową naszą niewiadomą jest jawna postać zależności R(t). Lewa strona równań Einsteina to dość skomplikowane funkcje pochodnych tensora gij. Wstawiając tam zapisane powyżej wielkości na goo, g11, g22 , g33 otrzyma się po dość długich przekształceniach układ dwóch równań w postaci:
(3)
(4)
(w dalszym ciągu będziemy używali przyjętego powszechnie skrótowego oznaczenia .
Równanie (4) można łatwo przekształcić do postaci:
(4a)
Ponieważ jednak 4pR3/3 =V to wielkość o wymiarze objętości zaś rV = M ma wymiar masy więc (4a) można (po wymnożeniu stronami przez dowolną jednostkową masę m=1) zapisać:
(4b)
Równanie to przypomina formalnie znany z mechaniki klasycznej bilans energii kinetycznej i potencjalnej cząstki m w polu grawitacyjnym masy M, gdyż pierwszy z lewej wyraz w (4b) to jakby energia kinetyczna zaś drugi to energia potencjalna.
Skorzystamy też z prawa zachowania masy w ekspandującym obszarze o promieniu R, (warunek ciągłości):
rV = M = const lub rR3 = const lub:
(5)
gdzie indeks “0” odnosi się do dowolnej (np. obecnej) chwili to .
Rozpatrzmy teraz poszczególne przypadki rozwiązania równania (4a).
I. k = 0. (przestrzeń globalnie euklidesowa).
Tutaj prawa strona w (4a) równa się zero, po lewe zaś stronie wielkość r zastępujemy zależnością (5). Otrzymujemy proste równanie różniczkowe:
(6)
gdzie zawiera wszystkie wielkości stałe. Rozwiązanie równania (5) ma postać
(7)
Zależność tempa ekspansji od czasu wyrazi się:
(8)
i zmierza do zera gdy . Natomiast tzw. parametr Hubble’a:
(9)
też zmierza z czasem do zera. Korzystając z otrzymanych powyżej rezultatów można też wyrazić zależność od czasu średniej gęstości materii :
(10)
Jest to tzw. “gęstość krytyczna” charakterystyczna właśnie dla wszechświata o geometrii euklidesowej. Dla gęstości r>rc mamy bowiem przestrzeń o geometrii typu sferycznego z k = +1 zaś dla r<rc przestrzeń ma geometrię hiperboliczną
z k = -1.
II. k = +1. (geometria typu sferycznego).
W tym przypadku równanie (4a) po podstawieniu (5) jest w postaci:
(11)
W postaci całkowej wygląda to następująco:
(12)
gdzie, jak poprzednio podstawiono .
Dla rozwiązania (12) dokonuje się podstawienia:
(13)
gdzie h to bezwymiarowy parametr pomocniczy.
Wówczas zależność R(t) otrzymujemy w postaci parametrycznej:
(14)
W chwili początkowej, dla h=0 i t=0 mamy R(0) = 0. (początkowa osobliwość).
Wartości h = p odpowiada maksymalna wartość czynnika R = Rmax:
(15)
Odpowiada to czasowi t:
(16)
Następnie, dla 2p>h>p wielkość R(t) maleje (Wszechświat kurczy się) i osiąga znów osobliwość R = 0 dla h = 2p. (ilustruje to rysunek na końcu tego rozdziału).
III. k = -1. (geometria hiperboliczna).
W tym przypadku równanie (4) jest podobne do (11) z drobną (lecz istotną) zmianą znaku po prawej stronie:
(17)
zaś równanie (12) też jest podobne z drobną różnicą znaku pod pierwiastkiem:
(18)
Tu także dokonuje się podstawienia (lecz z sinusem hiperbolicznym):
(19)
i otrzymuje się rozwiązania w postaci:
(20)
Tu także w chwili początkowej h = 0 (oraz t = 0 ) mamy osobliwość w postaci R = 0. Natomiast już dalsza ekspansja R(t) jest nieodwracalna (narastająca).
Graficznie zależność R(t) dla wszystkich trzech omówionych przypadków ilustruje poniższy rysunek.
Jak widać, wszystkie trzy rozwiązania zbiegają się w początkowej osobliwości R(t=0) = 0. W jej pobliżu nie można już zaniedbywać ciśnienia ośrodka, który przy tych gęstościach i temperaturach jest już ultra relatywistycznym gazem. Prześledzimy więc zachowanie się rozwiązań w tych warunkach.
Wychodzimy ze znanej postaci I-szej zasady termodynamiki (dla ekspansji adiabatycznej):
dE +p dV = 0 (21)
gdzie energia ośrodka E = e V = r c2R3 (zaś e = r c2 to gęstość energii). Równanie stanu gazu dla relatywistycznego przypadku ma postać
(22)
Wstawiając powyższe podstawienia do (21), różniczkując i porządkując otrzymamy:
(23)
czyli e R4 = const. Zamiast równania (5) mamy więc teraz:
(24)
Taką właśnie postać na r musimy teraz wstawić do równania (4). Otrzymamy wówczas:
(25)
Dla przypadku k = 0 po prostym wycałkowaniu otrzymamy
(26)
Dla pozostałych dwóch przypadków podobnie otrzymuje się w pobliżu osobliwości zależność typu:
(27)
Jest to bardzo ważna zależność, która przyda nam, się przy opisie wczesnych etapów ewolucji wszechświata. Odnotujmy tu jednak, że uwzględnienie ciśnienia gazu nie chroni rozwiązań kosmologicznych przed osobliwością w chwili t = 0.
RÓWNANIA KOSMOLOGICZNE WYPROWADZONE Z TEORII
NEWTONOWSKIEJ.
Otrzymane w poprzednim rozdziale (“Kosmologiczne rozwiązania równań Einsteina”) równania kosmologiczne Friedmanna (r-nie (3) i (4)) można także formalnie otrzymać na gruncie klasycznej teorii newtonowskiej. Rozważmy w tym celu pewien dowolny kulisty obszar wszechświata - kulę o promieniu r wypełnioną jednorodnie masą M o gęstości r.
Ze względu na ogólną ekspansję wszechświata promień naszej sfery zmienia się w czasie: (gdzie jednostkowy wersor zaś R(t). to zmienny w czasie czynnik skali). Jednostkowa cząstka próbna m ma energię kinetyczną (wynikającą z udziału w ekspansji) oraz energię potencjalną w polu grawitacyjnym masy M:
(28)
co można przekształcić do postaci (przyjmując )
(28a)
gdzie -kc2 = 2E zaś k = 0, +1, -1. Jest to odpowiednik równania (4) z poprzedniego rozdziału.
Przy ekspansji adiabatycznej mamy równanie (z I zasady termodynamiki)
dU +p dV =0. Energia wewnętrzna w naszej kuli to energia związana z masą M czyli . Wówczas różniczkowania dają nam
Po wstawieniu do I zasady termodynamiki i uporządkowaniu otrzymamy
(29)
Jest to tzw. warunek zachowawczy (który w formalizmie OTW wynika z zerowania się kowariantnej dywergencji tensora energii-pędu ).
Zróżniczkujmy teraz r-nie (28a) po czasie:
Wielkość ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]© 2009 Zaopiekuj się moim sercem - zostawiłem je przy tobie. - Ceske - Sjezdovky .cz. Design downloaded from free website templates